Del 1 af 3: Forstå matematikken i spreadbetting

Denne artikel er skrevet af Bjarke Eltard-Larsen, uddannet ingeniør, PhD og Seniorforsker på DTU. Artiklen, der er nummer et ud af i alt tre i denne serie om spreadbetting, er bragt i et kommercielt samarbejde med SpreadEx*, som ikke har redaktionel indflydelse på indholdet.

På Monetos er der godt gang i spreadbettingpodcasts og de daglige spreadbets på hjemmesiden, og jeg synes, at værterne og eksperterne har leveret en del rigtig gode udsendelser og spilforslag og også en masse gode overvejelser omkring spreadbetting mere generelt.

Til dem, der kender mig fra Monetos’ Facebook-gruppe ’Oddsklubben – de bedste spil’, ved I nok godt, at min tilgang tit er en lidt anden end Monetos-eksperternes. En ting, jeg som regel synes, at der mangler lidt i spreadbettinganalyserne, er en vurdering af, hvad prisen bør være. Ligesom i ’almindelig’ sportsbetting, hvor du spiller et odds, har alt også en pris i spreadbetting, og hvordan ved man så, om alle ens gode ideer allerede er inkorporeret i spreadet?

Dette spørgsmål vil jeg sætte fokus på i denne artikel, som er den første af tre artikler, jeg har lovet at skrive om spreadbetting her på www.monetosbetting.dk.

Hvad er et spread, og hvordan udregner man det?
De fleste, som har prøvet at spreadbette eller lyttet til Monetos-podcasts eller læst spilforslag på hjemmesiden, har nok en intuitiv forståelse af, hvad et spread er. Men hvor mange har egentlig tænkt over, hvad det præcist er, og hvordan man kan udregne det?

Læs mere: Sådan fungerer spreadbetting

Kort fortalt er et spread den forventede middelværdi, og den kan udregnes ved at tage sandsynligheden af alle de forskellige udfald og gange disse sandsynligheder med udfaldene (f.eks. antal mål) og herefter summe alle produkterne. Lyder det indviklet? Det kan det være, hvis der er mange udfald, eller min beskrivelse ovenfor er uklar, så lad os derfor tage et simpelt eksempel, der er til at overskue; en almindelig sekssidet terning.

Inden du læser videre, så prøv at tænke over, hvad du synes, at spreadet burde være for et slag med en terning?

En sekssidet terning har seks udfald. Alle udfald har sandsynligheden p=1/6. Ud fra det, som jeg skriver ovenfor, er spreadet derfor:

Spread_terning= (1/6*1+1/6*2+1/6*3+1/6*4+1/6*5+1/6*6) = 3.5

Forhåbentlig svarer min udregning til, hvad du gættede på før. Hvis det er svært at forholde sig til, kan spreadbetting også ses som en vægt. Hvis man lister de mulige udfald op i rækkefølge ifølge deres værdi og lader sandsynlighederne være vægte, så gælder det om at finde den værdi, der giver ligevægt. For terningen ser det således ud med den sorte tykke linje, som markerer spreadet:

Måskke har du hørt udtrykket kraft gange arm i forbindelse med, hvordan man udregner moment, og det samme gør sig gældende med et spread. Helt konkret betyder det, at værdier, som ligger langt fra spreadet (har en længere arm), betyder mere for spreadet. Forestil jer, at vi ikke har en normal terning, men en ulige terning, sådan så sandsynlighederne er 15% på udfaldene 1-5 og 25% på en sekser. I dette tilfælde bliver spreadet:

Spread_ulige terning = (0.15*1+0.15*2+0.15*3+0.15*4+0.15*5+0.25*6) = 3.75

Eller udtrykt grafisk:

Her kan det ses, at den øgede sandsynlighed for seksere flytter ligevægtspunktet mod højre.

Hvad betyder det for ens betting?

Normalt er vi som bettere vant til at tænke på sandsynligheder og frekvenser. Med spreadbetting skal man forsøge at lægge den tankegang væk. Det betyder ikke så meget, hvor ofte spreadet har resulteret i overskud, men snarere hvad den gennemsnitlige gevinst ville have været historisk. Mikkel Westermann, ekspert på Monetos, har været god til at fortælle, hvor meget man ville have vundet, i stedet for hvor ofte man ville have vundet. Med nogle spreads (hvor middelværdien og medianværdien er tæt på hinanden) går man ikke helt galt i byen ved at tælle, hvor ofte man får plus, men f.eks. på en af Westermanns yndlingsvariationer ”antal mål i tredje potens” er der en stor forskel. Spiller man under på mål i tredje potens, kan man forvente, at spillet vil give overskud cirka 65% af gangene (afhængigt af odds vil det svinge lidt, men det er deromkring), selv hvis man taber i det lange løb.

Læs mere: Kampagne: Opret ny konto ved SpreadEx og få en måned gratis i ‘Sportsbetteren’ i Monetos Plus

Den anden ting, som kan være vigtig for ens spil, er, at de mest usandsynlige udfald kan have en stor betydning. Det er derfor nødvendigt at tage alle udfald med i betragtningen. I hvert fald hvis man vil udregne et præcist spread (jeg vil senere også komme ind på, hvordan man kan spreadbette uden at tage højde for alle udfald).

Udregning af spread på antal mål i en fodboldkamp

At udregne spreadet på et slag med en terning er nemt, men hvad gør man, når man ikke kender de sande sandsynligheder på alle udfald som fx ved antallet af mål i en fodboldkamp? Hvad skal spreadet så være?

Her vil jeg (og nok også SpreadEx) typisk anvende sandsynlighedsfordelinger. Der findes mange typer af sandsynlighedsfordelinger. De fleste er nok bekendt med normalfordelingen, som bliver hyppigt anvendt og også typisk bliver vist i matematikundervisningen i gymnasiet. Der findes dog mange andre sandsynlighedsfordelinger end normalfordelingen.

En sandsynlighedsfordeling, som bliver hyppigt anvendt inden for sportsbetting til at beskrive antallet mål i en kamp, er poissonfordelingen. Denne har jeg indsat nedenfor sammen med den reelle fordeling af antal mål i de fem store ligaer. Det kan ses, at poissonfordelingen ikke er perfekt, men at den passer ganske udmærket. Der er lidt flere 0-0-kampe end forudsagt, og der er også nogle af de højtscorende resultater, som forekommer lidt oftere, end poissonfordelingen forudsiger.

Rent matematisk er variansen i en poissonfordeling lig med middelværdien. Dette er dog ikke tilfældet for data, der er vist her. Her var middelværdien 2,75 mål, mens variansen var 2,84 mål^2 (undskyld den mærkelig enhed, men som underviser af ingeniørstuderende er korrekte enheder essentielle). Data er dermed det, man kalder overdispersed. Mange modellører (sådan nogle som mig) er derfor nået til den konklusion, at andre sandsynlighedsfordelinger, som kan fange den overdispersion, er bedre. Det kunne være den såkaldte negative binomialfordeling. Jeg kunne sagtens fitte den negative binomialfordeling til at passe bedre med data ovenfor end poissonfordelingen, men det ville ikke gøre mine bettingmodeller bedre. Tværtimod. Grunden til dette er ret enkel, men også noget mange meget kloge hoveder ofte overser (alle kloge hoveder, jeg har præsenteret det kommende argument for, er dog blevet overbevist).

Lyt med: Monetos har lavet en podcastskole til spreadbetting

Ovenstående fordeling er kommet fra en række kampe. Hver af disse kampe vil have deres egen middelværdi, som er forskellig for den samlede middelværdi. Da disse middelværdier er forskellige, bidrager de dermed til den varians, man kan se i data ovenfor. For den enkelte kamp vil poissonfordelingen derfor ofte være en bedre fordeling end f.eks. den negative binomialfordeling. Det vil jeg komme lidt mere ind på senere, men nu vil jeg dog vende tilbage til spreadbetting.

Jeg har nu vist, at poissonfordelingen er en god fordeling til at beskrive antallet af mål i en fodboldkamp, og med det udgangspunkt vil jeg mene, at der er to måder at komme til et bud på, hvad målspreadet skal være på en kamp. Den ene er en ”bottom up”-tilgang, hvor man med udgangspunkt i historisk data prøver at bestemme, hvad middelværdien for kampen skal være. Til dette kan man anvende en Baysiansk tilgang. Det vil jeg dog ikke gå igennem her, da det nok vil kræve en del at gennemgå, og da den klassiske skolebogs-Baysiansk-analyse i sig selv ikke er helt nok.

Et hurtigere bud på et spread kan være at antage, at f.eks. Pinnacles linje på over 2,5 mål er effektiv og ud fra det bruge poissonfordelingen til at finde middelværdien (spreadet). Pinnacle, en stor udenlandsk bookmaker uden dansk licens, der er kendt for at have de mest ’effektive/korrekte’ odds ved kampstart, har dog en margin, og derfor skal vi først rense oddset for margin. Dette kan man gøre på denne måde:

m=1/over25+1/under25-1;

Herefter kan vi finde fair odds:

fO25=2 * over25/(2-m*over25).

Hvis jeg nu havde været bookmaker og anvendt ovenstående fair odds uden margin, ville både under og over stort set være gået i nul på de fem store ligaer. Pinnacles odds er dermed (ikke overraskende) ret gode til at forudsige de sande sandsynligheder.

Med fair odds kan vi så finde spreadet. Da jeg ikke forventer, at alle kan isolere middelværdien i en poissonfordeling ud fra en given sandsynlighed (jeg har ikke engang vist ligningerne), har jeg gjort lidt af det hårde arbejde og lavet en figur, som viser fair odds på over 2,5 mål vs. spreadet ved antagelse af en poissonfordeling.

Hvordan passer ovenstående så med SpreadEx’ værdier på målspreadet? Nedenfor har jeg samlet SpreadEx’ målspread på de kommende Premier League-kampe sammen med mit spread dannet på baggrund af Pinnacles odds (spreads og odds er fra torsdag 15. september, så jeg tager forbehold for, at de kan ændre sig).

Kamp:                             SpreadEx (Pinnacle-odds)

Wolves – Liverpool:       3.25-3.45  (3.37)

Fulham – Luton:             2.6-2.8      (2.71)

Aston Villa – Palace       2.6-2.8       (2.72)

Man Utd – Brighton      3.25-3.45   (3.36)

West Ham – Man City  3 – 3.2         (3.15)

Tottenham -Sheff U      3.2 -3.4        (3.34)

Newcastle – Brentford 2.85-3.05     (2.99)

Det kan ses, at spreadet dannet ud fra Pinnacles odds ved antagelse af poissionfordeling passer ret godt med SpreaEx’s spread. På intet tidspunkt ville jeg forudsige at have værdi på nogle af siderne (dermed tror jeg også godt, at vi kan antage, at SpreadEx bruger en tilgang, der minder om den, som jeg har præsenteret her). Det kan også ses, at spreadet ud fra Pinnaccles linjer ligger lidt over middelspreadet på den enkelte kamp.

Nu nævnte jeg tidligere, at man ville være gået stort set i nul ved at spille blindt på over eller under ved fair odds. På samme måde går man også stort set i nul på både over og under ved det spread, jeg har regnet ud fra fair odds. Underen viser dog et lille plus på 0.6% og overen et minus på 0.6%. Det vil sige, at man i snit skal trække ca. 2 øre fra spreadet udregnet fra Pinnacles odds for at gå i nul, og dermed placerer det udregnede odds sig stort set midt i SpreadEx’s spread.

Hvad betyder det for ens betting?

For det første betyder det, at SpreadEx og Pinnacles linjer følger hinanden tæt. Som udgangspunkt betyder det derfor, at man skal kunne finde værdi på Pinnacles linje for at kunne finde værdi på spreadet, i hvert fald for de fleste ”normale” kampe.

Kan man finde værdi på Pinnacles linjer, kan ovenstående figur bruges af folk, der ikke kan løsrive sig fra tankegangen om frekvenser. Figuren kan dermed bruges til at oversætte sit eget O25 odds til et spread, som kan sammenlignes med SpreadEx’ spread.

Der er dog også den mulighed, at den reelle fordeling vil være langt fra en poissonfordeling, og i disse tilfælde kan man godt stå i et scenarie, hvor man ikke finder værdi i Pinnacles odds, men at der er værdi på spreadet.

Et eksempel på det kan være en kamp, som man godt kan se stikke fuldstændig af. Hvis man kan se kampen stikke af, men ikke finder værdi i Pinnacles odds på overen, betyder det dog, at man også skal kunne se kampen gå i stå (kan man ikke det, ville man også se værdi i Pinnacles odds). Et eksempel på sådan en kamp kan være to hold, der kan leve med uafgjort, hvis et andet hold (som spiller samtidig) ikke vinder. Der vil således være mange kampe, som triller ud i 0-0 eller 1-1. Hvis det andet hold, som spiller samtidig, til gengæld kommer foran, skal begge hold op og vinde, og dermed kan kampen stikke af. I sådanne tilfælde vil poissonfordelingen ikke være en god approksimation, og der kan dermed godt være værdi i overen på spreadet, selvom man ikke finder værdi i overen hos Pinnacle.

Et andet eksempel, hvor man ikke finder værdi på Pinnacles linje på under, men der er værdi på spreadet, kan være store favoritter, som, man er ret sikker på, scorer (dermed ender kampen næsten aldrig 0-0), men måske skal spare sig før en vigtig kamp i Champions League eller en hjemlig pokalturnering.

Mikkel Westermanns yndlingsspread

En af Mikkel Westermanns yndlingsvarianter er ’antal mål i tredje potens’, hvor væddemålet afgøres ud fra antallet af mål i kampen ganget med sig selv tre gange (fx 2*2*2 = 8). Her har Steffen Dam, der også tit er med i programmerne og laver daglige spreadbets på hjemmesiden sammen med det øvrige ekspertteam, været lidt efter Westermann, da man jo ikke kender sit maksimale tab.  Jeg er enig i, at man skal være varsom, men hvordan kan man analysere dette spil?

Lad os tage udgangspunkt i kampen Fulham – Luton. Hvis vi antager en poissonfordeling med middelværdi 2.71 som ovenfor (altså dannet ud fra Pinnacles odds) vil sandsynlighederne og værdierne for kampen se ud som på figuren nedenfor. Spreadet er igen markeret med en tyk sort linje.

Spreadet ved antagelse af en poissonfordeling bliver 44.7. SpreadEx har 41-48, og dermed ligger det beregnede spread nogenlunde midt i SpreadEx’s interval. Figuren viser også det, jeg omtalte tidligere, nemlig at cirka 65% af spillene på under – altså hvor du ’sælger’ spreadet – vil give gevinst.

På både over/under-linjen og på målspreadet ville vi være gået stort set i nul på mine fair odds og fair spreads. Hvordan forholder det sig her på denne variant?

Ja, her er det faktisk markant anderledes. Med en enhedstørrelse på 1 havde vores bankroll udviklet sig på følgende måde i de fem store ligaer, hvis man havde anvendt mit Spread beregnet på baggrund af Pinnacles odds og en poissonfordeling:

Ovenstående viser et ret klart billede, og hvis man havde kunne spille på under på mit fair spread – altså ’sælge’, som det hedder hos SpreadEx – havde ROI (Return On Investment) været omkring 5%. Faktisk betyder ovenstående, at man i gennemsnit skal trække 2.35 fra de beregnede spread på baggrund af en poissonfordeling for at gå i 0. Dette er dog ikke nok til, at man blindt kan spille underen. Selv hvis man trækker 2.35 fra det beregnede spread, vil man stadig være inden for SpreadEx’s spread næsten hver gang. Man vil dog klart være tættest på underen.

Hvad skyldes dette så. For at forklare det, skal vi tilbage til vores sandsynlighedsfordelinger og den misforståelse, som mange gør sig skyldig i efter at have set data for alle kampe. Hvis jeg grupperer alle kampe efter deres over/under-odds og regner middelværdi og varians ud fra grupper af kampe, som har nogenlunde samme over/under odds, ja så er middelværdien faktisk større end variansen. Det betyder, at man i stedet for at skulle have fat i en negativbinomialfordeling eller en poissonfordeling skal have fat i en fordeling, som kan håndtere underdispersion. Dette har jeg sjældent set anvendt i sportsbetting (så det er virkelig et af mine matematikguldkorn, som jeg ellers i lang tid har holdt for mig selv, der kommer med her).

Ved SpreadEx så det her? Mit gæt er, at SpreadEx godt ved, at de som bookmaker vil tjene mere på overen end på underen, hvis indsatserne er jævnt fordelt. Faktisk så tror jeg, at de gør det med vilje, da jeg tror, at mange vil være varsomme med at spille under, da man jo nemt kan få store tab. Samtidig er det også sjovere med muligheden for den helt store gevinst, som man jo får, når man spiller over eller ’køber’, som det hedder hos SpreadEx. Jeg tror derfor, at indsatserne fordeler sig ret skævt på det her spread.

Om SpreadEx ved hvorfor (nemlig at data er underdispersed), det ved jeg ikke. Mit gæt er, at hvis nogle bookmakere skulle vide det, skulle det være SpreadEx da sandsylighedsfordelinger må fylde en hel del i deres modeller.

Gode råd til din egen spreadbetting

Da SpreadEx’ spread på dette marked generelt passer godt med spreadet dannet med en poissonfordeling, og jeg skulle fratrække lidt over 2 kr på spreadet for at gå i 0, betyder det, at man med fordel kan lede efter værdi på underen. Man vil ikke kunne få overskud ved blindt at spille på underen, men man skal overkomme langt mindre for at lave plus, end hvis man spiller på overen. Selvfølgelig skal man være varsom, som Steffen Dam også har nævnt ved flere lejligheder, da man ikke kender sit maksimale tab (jeg kommer ind på staking i næste artikel).

Forhåbentlig inspirerer indholdet dig, og hvis du har spørgsmål til artiklen eller spreadbetting, besvarer jeg dem gerne i ’Oddsklubben – de bedste spil’, der er Monetos’ Facebook-gruppe.

Med forbehold for ændringer i Premier League-odds og spreads.